[응용통계학] 4장. 확률변수와 확률분포

응용통계학 4장 확률변수와 확률분포는 다음 목차로 구성

 

4.1 확률변수

4.2 이산형 확률분포

4.3 연속형 확률분포

4.4 결합확률분포

4.5 주변확률분포

4.6 두 확률변수의 독립성

4.7 확률변수의 기대값

4.8 확률변수의 분산

4.9 공분산과 상관계수

4.10 기대값, 분산의 성질

 

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4.1 확률변수

확률 변수 개념이 필요한 이유를 예로 들어 이해해보자.

 

1) 표본공간의 각각의 표본점을 하나의 실수로 대응시키면, 표본공간의 표현의 임의성을 배제할 수 있음.

 

1개의 동전을 1회 던지는 실험에서 앞면이 나타나는 경우를 표본점 H, 뒷면이 나타나는 경우를 표본점 T로 표기하면,

표본공간 S = {H, T} 로 표기할 수 있음.

그러나 표현에 따라 H와 T를 각각 앞, 뒤로 표기 가능하며, 이런 경우 S = {앞, 뒤}로도 표기 가능

 

즉, 같은 표본 공간 S는 표현하는 사람에 따라 다르게 표현될 수 있음.

 

수학적 정의 시에는 이러한 표현상의 임의성을 배제할 필요가 있으며, 

가장 확실한 방법은 '함수를 사용하여 표본공간의 표본점을 숫자로 변환'하는 것

 

X를 앞면에 대응하는 표본점에서 '0'의 값을 가지고, 뒷면에 대응하는 표본점에서 '1'의 값을 가지는 함수로 정의하면,

앞면이 나오는 사상을 정의할 때 X=0인 사상으로 단순하고 유일하게 표현 가능.

앞면이 나올 확률 정의 시에도 P(X=0) = 1/2 이라 할 수 있음.

 

2) 또한, 실험이나 조사에서 대상이 되는 중요한 부분에 분석의 초점을 맞출 수 있음

 

예를 들어, 1개의 동전을 2회 던지는 실험에서 '앞면이 1회 이상 나타날 확률'에 관심이 있다면,

기호를 사용하는 경우 S = {HT, HH, TH, TT} 중 P({HT, HH, TH}) = 3/4 으로 나타낼 수 있다.

 

그러나 확률 변수 X를 각 표본점에서 앞면이 출현하는 회수로 정의하면,

P(X>= 1) = 3/4 로 표기할 수 있어, 분석이나 논의가 간단하고 명확해진다.

 

확률변수(Random Variable)

표본공간 S에서 각각의 표본점을 실수로 변환시키는 함수

확률변수의 값(Value of Random Variable)

각각의 표본점이 변환된 실수

- 확률변수는 일반적으로 X, Y와 같이 대문자를 사용하여 표기

- 확률변수의 값은 일반적으로 x, y와 같이 소문자로 표기

 

예시) X=x는, X가 x를 가지는 사상으로 해석됨

 

확률변수로 표현된 사상(Event Defined by Random Variable)

표본공간 S 위에 정의된 사상 B에 대하여
확률변수 X가 B의 표본점을 집합 A로 변환시키면 사상 B를 X∈A로 표기하고
확률변수 X로 표현된 사상 혹은 간단히 사상이라고 표현

** 집합 A가 하나의 값 a를 가지면 사상 X∈A를 간단히 X=a라 표현

    집합 A가 연속된 구간 [a, b]이면 X∈A를 a <= X <= b라 표현

 

- 확률 변수의 분류

이산형 확률변수(Discrete Random Variable)

하나씩 셀 수 있는 값을 가지는 확률변수

연속형 확률변수(Continuous Random Variable)

하나씩 셀 수 없는 값을 가지는 확률변수

 

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4.2 이산형 확률분포

이산형 확률 변수 X가 값 x를 가지면, X로 표현된 사상 X=x의 확률 P(X=x)를 계산할 수 있음

따라서 모든 x에서 P(X=x)를 정의할 수 있으며, 이 대응 관계를 확률변수 X의 이산형 확률 분포(discrete probability distribution)라 함

이산형 확률분포는 하나의 함수 관계이므로 표나 그림으로 정의하는 것이 편리하며, 그 예가 확률분포표와 확률히스토그램

 

이산형 확률밀도함수 정의/ 성질